La બીજગણિત અભિવ્યક્તિનું પરિબળ તે એવી પ્રક્રિયા છે જેના દ્વારા કથિત અભિવ્યક્તિને સરળ પરિબળોના ગુણાકાર તરીકે લખવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે બહુપદીનું પરિબળ, ઉદ્દેશ્ય એવા શબ્દો શોધવાનો છે કે, જ્યારે ગુણાકાર કરવામાં આવે, ત્યારે મૂળની સમાન બીજગણિત અભિવ્યક્તિમાં પરિણમે છે.
બીજગણિતમાં આ પ્રક્રિયા અત્યંત મહત્વની છે, કારણ કે તે સમીકરણોને સરળ બનાવવા અને વધુ વ્યવસ્થિત બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. તદુપરાંત, બહુપદીનું પરિબળ બનાવતી વખતે સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઉદ્દેશોમાંનું એક છે તેને નીચી ડિગ્રીના અન્ય બહુપદીનું ઉત્પાદન.
ખ્યાલને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો એક મૂળભૂત ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ:
બીજગણિત અભિવ્યક્તિ: x(x + y)
આ અભિવ્યક્તિની શરતોનો ગુણાકાર કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:
x2 + એક્સવાય
આ રીતે: x(x + y) = x2 + એક્સવાય
La ફેક્ટરિંગ તે માત્ર એટલા માટે ઉપયોગી નથી કે તે સમસ્યાનું નિરાકરણ સરળ બનાવે છે, પરંતુ કારણ કે તે તમને બીજગણિત અભિવ્યક્તિની શરતો વચ્ચેના ગુણધર્મો અને સંબંધોને ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે.
સામાન્ય પરિબળ
ફેક્ટરાઇઝેશન તકનીકો સાથે પ્રારંભ કરતા પહેલા, આ શબ્દનો અર્થ શું છે તે સમજવું આવશ્યક છે. સામાન્ય પરિબળ. બહુપદીમાં સામાન્ય પરિબળની શોધ કરીને, અમારું લક્ષ્ય એક એવા શબ્દને ઓળખવાનું છે જે અભિવ્યક્તિના તમામ શબ્દોમાં પુનરાવર્તિત થાય છે, જે અમને તેને સરળ બનાવવા દે છે.
જો કે, એ નોંધવું અગત્યનું છે કે ફેક્ટરિંગ હંમેશા શક્ય નથી. પરિબળ બનાવવા માટે, કામ કરવા માટે ઓછામાં ઓછો એક સામાન્ય શબ્દ હોવો જોઈએ. નહિંતર, તેને વધુ સરળ બનાવી શકાતું નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં:
xa + yb + zc
ત્યાં કોઈ નથી સામાન્ય પરિબળ શરતો વચ્ચે, તેથી ફેક્ટરાઇઝેશન હાથ ધરી શકાતું નથી.
ચાલો બીજા કેસ જોઈએ જ્યાં તે શક્ય છે:
a2x + એ2y
અહીં સામાન્ય પરિબળ છે a2. સરળતા માટે, અમે બંને શબ્દોને આ સામાન્ય પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:
- a2x એ દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે2, જે x આપે છે
- a2y એ દ્વારા વિભાજિત થયેલ છે2, તે શું આપે છે અને
છેલ્લે, પરિબળ અભિવ્યક્તિ છે:
a2(x+y)
બહુપદીના પરિબળમાં સામાન્ય પરિબળનો ઉપયોગ કરવો
ઘણા કિસ્સાઓમાં, બહુપદીની કેટલીક શરતો a હશે સામાન્ય પરિબળ, જ્યારે અન્ય નથી. આ સંજોગોમાં, શું કરવું જોઈએ એ છે શબ્દ જૂથ, જેથી જૂથબદ્ધ શબ્દો એક સામાન્ય પરિબળ શેર કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં:
xa + ya + xb + yb
અમે શરતોને અલગ અલગ રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:
(xa + ya) + (xb + yb)
જો આપણે જૂથબદ્ધ શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ, તો આપણે દરેક જૂથમાં એક સામાન્ય પરિબળનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ:
a(x + y) + b(x + y)
અંતે, અમે અભિવ્યક્તિને નીચે પ્રમાણે પરિબળ કરી શકીએ છીએ:
(x + y)(a + b)
આ ટેકનિકને "ગ્રુપિંગ ફેક્ટરાઇઝેશન" કહેવામાં આવે છે અને તે તમને બહુપદીને સરળ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે, પછી ભલે બધા શબ્દો સમાન સામાન્ય પરિબળ ધરાવતા ન હોય. એ નોંધવું જોઈએ કે જૂથ બનાવવાની એક કરતાં વધુ રીતો છે, અને પરિણામ હંમેશા સમાન હશે. ઉદાહરણ તરીકે, આ જ કિસ્સામાં, અમે શરતોને નીચે પ્રમાણે જૂથબદ્ધ કરી શક્યા હોત:
(xa + xb) + (યા + yb)
જે, ફરીથી, તરફ દોરી જાય છે:
x(a + b) + y(a + b)
અંતે, અમને સમાન પરિણામ મળે છે:
(a + b)(x + y)
આ પ્રક્રિયા વિનિમયાત્મક કાયદા દ્વારા સમર્થિત છે, જે જણાવે છે કે પરિબળોનો ક્રમ અંતિમ ઉત્પાદનને બદલતો નથી.
અદ્યતન પદ્ધતિઓ: નોંધપાત્ર ઉત્પાદનોનો ઉપયોગ કરીને ફેક્ટરિંગ
બહુપદીને પરિબળ કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ છે, જેમાંથી નોંધપાત્ર ઉત્પાદનો. સૌથી સામાન્ય નોંધપાત્ર ઉત્પાદનો છે સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી અને x ફોર્મનો ત્રિનોમી2 + બીએક્સ + સી. ત્યાં અન્ય નોંધપાત્ર ઉત્પાદનો પણ છે, પરંતુ તે દ્વિપદી પર વધુ લાગુ થવાનું વલણ ધરાવે છે.
પરફેક્ટ સ્ક્વેર ત્રિમાસિક
Un સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિપદી તે ત્રણ પદોથી બનેલું બહુપદી છે, જે દ્વિપદીના વર્ગીકરણનું પરિણામ છે. નિયમ કહે છે કે પ્રક્રિયા આ રચનાને અનુસરે છે: પ્રથમ મુદતનો વર્ગ, વત્તા પ્રથમ મુદતની બમણી વખત બીજી મુદતનો વર્ગ, વત્તા બીજી મુદતનો વર્ગ.
સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિનોમીલને પરિબળ કરવા માટે, અમે આ પગલાંને અનુસરીએ છીએ:
- અમે પ્રથમ અને ત્રીજા પદના વર્ગમૂળને બહાર કાઢીએ છીએ.
- અમે બીજા શબ્દને અનુરૂપ સાઇન દ્વારા મૂળને અલગ કરીએ છીએ.
- આપણે બનેલા દ્વિપદીનો વર્ગ કરીએ છીએ.
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
4a2 – 12ab + 9b2
- 4a નું વર્ગમૂળ2: 2a
- 9bનું વર્ગમૂળ2: 3 બી
ત્રિકોણીય આ રીતે પરિબળ છે:
(2a - 3b)2
X ફોર્મનું ત્રિમૂળ2 + બીએક્સ + સી
આ પ્રકારના ત્રિનોમીમાં વિશિષ્ટ લક્ષણો છે જે તેને વધુ સરળતાથી ફેક્ટર કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ ફોર્મના ત્રિનોમિયાને પરિબળ બનાવવા માટે, તે નીચેના માપદંડોને પૂર્ણ કરવા આવશ્યક છે:
- પ્રથમ શબ્દનો ગુણાંક 1 હોવો આવશ્યક છે.
- પ્રથમ પદ એક સ્ક્વેર ચલ હોવું આવશ્યક છે.
- બીજા પદમાં સમાન ચલ હોય છે, પરંતુ તે ચોરસ નથી (તેનો ઘાતાંક 1 છે).
- બીજા શબ્દનો ગુણાંક હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોઈ શકે છે.
- ત્રીજો શબ્દ એ એવી સંખ્યા છે જે અગાઉના રાશિઓ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત નથી.
આ પરિબળનું ઉદાહરણ નીચે આપેલ ત્રિનોમી હશે:
x2 +9x +14
તેને પરિબળ કરવા માટે, આ પ્રક્રિયાને અનુસરો:
- આપણે ત્રિપદીને બે દ્વિપદીમાં વિઘટિત કરીએ છીએ.
- દરેક દ્વિપદીનું પ્રથમ પદ ત્રિપદીના પ્રથમ પદનું વર્ગમૂળ છે (આ કિસ્સામાં, “x”).
- દ્વિપદીના ચિહ્નો ત્રિપદીના બીજા અને ત્રીજા પ્રમાણ (આ કિસ્સામાં સકારાત્મક) અનુસાર સોંપવામાં આવે છે.
- અમે બે સંખ્યાઓ શોધી રહ્યા છીએ જેનો ગુણાકાર થાય ત્યારે 14 આપે અને જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે 9 આપે (વિકલ્પો 7 અને 2 છે).
આ રીતે, પરિબળ ત્રિપદી છે:
(x+7)(x+2)
વધારાની પદ્ધતિઓ: પરિબળ પ્રમેય અને રફિનીનો નિયમ
El પરિબળ પ્રમેય જણાવે છે કે બહુપદી એ ફોર્મ (x – a) ના બહુપદી દ્વારા વિભાજ્ય છે જો, x = a માટે મૂળ બહુપદીનું મૂલ્યાંકન કરીએ તો પરિણામ 0 છે. આ પ્રમેય બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે ઉપયોગી છે અને ફેક્ટરિંગને સરળ બનાવે છે. તે ઘણીવાર સાથે સંયોજનમાં વપરાય છે રફિનીનો નિયમ, બહુપદી વિભાગો કરવા માટે એક સરળ પદ્ધતિ.
આ સાધનો ખાસ કરીને ઉપયોગી છે જ્યારે ડિગ્રી 3 અથવા તેથી વધુના બહુપદી સાથે કામ કરે છે, જ્યાં સંપૂર્ણ ચોરસ ત્રિનોમી અથવા નોંધપાત્ર ઉત્પાદનો જેવી સરળ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવી શક્ય નથી.
છેલ્લે, એ નોંધવું અગત્યનું છે કે તમામ બહુપદીઓ સરળતાથી ફેક્ટર કરી શકાતી નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, બહુપદીના મૂળ શોધવા માટે વધુ અદ્યતન પદ્ધતિઓ અથવા સંખ્યાત્મક તકનીકોનો આશરો લેવો જરૂરી છે. જો કે, મૂળભૂત બીજગણિતમાં જોવા મળતા મોટાભાગના ઉદાહરણો આ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.
બીજગણિતમાં ફેક્ટરિંગ એ એક શક્તિશાળી સાધન છે કારણ કે તે તમને જટિલ અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવા અને સમીકરણોને વધુ અસરકારક રીતે ઉકેલવા દે છે. બહુપદીના પરિબળની વિવિધ પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવીને, અમે વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓના ઝડપી અને વધુ અસરકારક ઉકેલો લાગુ કરી શકીએ છીએ.