કહેવાતા મિલેનિયમ સમસ્યાઓ દ્વારા ઉભી થયેલી સાત ગાણિતિક સમસ્યાઓ છે માટી ગણિત સંસ્થા વર્ષ 2000 માં, ગાણિતિક સમુદાય માટે એક પડકાર તરીકે. વચન આપેલ ઈનામ છે એક મિલિયન ડોલર આ દરેક સમસ્યાઓ માટે જો તેઓ ઉકેલાઈ જાય. જો કે, આજ સુધી, તેમાંથી માત્ર એક જ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. વર્તમાન ગણિતમાં આ સમસ્યાઓને સૌથી જટિલ ગણવામાં આવે છે, અને તેનું નિરાકરણ માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્ર, કોમ્પ્યુટર વિજ્ઞાન અને સંકેતલિપી જેવા સંબંધિત ક્ષેત્રોમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.
મિલેનિયમ સમસ્યાઓ શું છે?
આ મિલેનિયમ સમસ્યાઓ તે અનુમાન અથવા ગાણિતિક નિવેદનોની શ્રેણી છે જેના માટે તે ચકાસવામાં આવ્યું છે કે તેઓ જાણીતા પુરાવા સાથે સુસંગત છે, પરંતુ હજુ સુધી ઉકેલ મળ્યો નથી. સખત ગાણિતિક પુરાવો જે તેમને માન્ય કરે છે. આમાંની એક સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવામાં માત્ર વિધાનને ઊંડાણપૂર્વક સમજવામાં જ નહીં, પણ નક્કર ગાણિતિક ધોરણે તેની સત્યતા દર્શાવવાનો પણ સમાવેશ થાય છે. હકીકત એ છે કે આમાંથી માત્ર એક જ સમસ્યાનો અત્યાર સુધી ઉકેલ આવ્યો છે મુશ્કેલી તેમને.
El માટી ગણિત સંસ્થા ગાણિતિક જ્ઞાનની પ્રગતિને પ્રોત્સાહન આપવા માટે આ સમસ્યાઓ ઊભી કરી. જો કોઈ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવામાં આવે, તો સંસ્થા આધુનિક ગણિતના કેટલાક સૌથી જટિલ પ્રશ્નો હલ કર્યાની પ્રતિષ્ઠા જ નહીં, પણ પુરસ્કાર પણ આપે છે. એક મિલિયન ડોલર. કુલ મળીને, શરૂઆતમાં પ્રસ્તાવિત સાત પડકારો છે, જેમાંથી અત્યાર સુધી માત્ર એક જ ઉકેલવામાં આવ્યો છે. ચાલો નીચે જોઈએ કે આ સમસ્યાઓ શું સમાવે છે.
Poincaré અનુમાન
La Poincaré અનુમાન તે એકમાત્ર સહસ્ત્રાબ્દી સમસ્યા છે જે આજ સુધી હલ કરવામાં આવી છે. તે 1904 માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી હેનરી પોઈનકેરે દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું અને તેના ક્ષેત્રમાં એક પૂર્વધારણા રજૂ કરી હતી. ટોપોલોજી, ત્રિ-પરિમાણીય વલયની લાક્ષણિકતા સાથે સંબંધિત. અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ ત્રિ-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ જે સરળ રીતે જોડાયેલ હોય તે ત્રિ-પરિમાણીય ગોળામાં હોમોમોર્ફિક હોવું જોઈએ.
આ અનુમાન આખરે રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા ઉકેલવામાં આવ્યું હતું ગ્રિગોરી પેરેલમેન 2002 માં, જેમણે તેનો પુરાવો બિનપરંપરાગત રીતે બહાર પાડ્યો: તેણે તેને વૈજ્ઞાનિક જર્નલમાં સબમિટ કરવાને બદલે તેને ઓનલાઈન પ્રકાશિત કર્યું. જોકે શરૂઆતમાં તેમના અભિગમ વિશે શંકા હતી, તેમના કાર્યની અન્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા ચકાસણી કરવામાં આવી હતી અને, 2006 માં, તેમને ફીલ્ડ્સ મેડલ. જો કે, પેરેલમેને ક્લે ઇન્સ્ટિટ્યૂટ દ્વારા ઓફર કરાયેલ ઇનામ અને મિલિયન ડોલર બંનેને નકારી કાઢ્યા.
પી વિરુદ્ધ એન.પી.
ની સૌથી પ્રખ્યાત સમસ્યાઓમાંની એક કમ્પ્યુટિંગ સિદ્ધાંત કહેવાય છે પી વિરુદ્ધ એન.પી.. આ ગાણિતિક કોયડો એ પ્રશ્ન ઉભો કરે છે કે શું ઝડપથી ચકાસી શકાય તેવી તમામ સમસ્યાઓ પણ ઝડપથી ઉકેલી શકાય છે. વધુ ઔપચારિક શબ્દોમાં, સમસ્યા એ વ્યાખ્યાયિત કરવાની છે કે શું P (સમસ્યાઓનો સમૂહ જે બહુપદી સમયમાં ઉકેલી શકાય છે) NP (સમસ્યાઓનો સમૂહ જેના પરિણામો બહુપદી સમયમાં ચકાસી શકાય છે) બરાબર છે.
આ સમસ્યાને ઉકેલવાથી અનેક ક્ષેત્રોમાં ક્રાંતિકારી અસરો થશે, જેમાં સંકેતલિપી, લા કૃત્રિમ બુદ્ધિ અને .પ્ટિમાઇઝેશન. જો P NP ની બરાબર હોત, તો ઘણા કાર્યો કે જે આજે કોમ્પ્યુટર માટે ખૂબ જ જટિલ છે, જેમ કે પાસવર્ડ ડિસિફરિંગ સંકેતલિપી અથવા જટિલ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા, ખૂબ ટૂંકા સમયમાં કરી શકાય છે.
હોજ અનુમાન
La હોજ અનુમાન ના ક્ષેત્રમાં ઉદ્ભવે છે બીજગણિત ભૂમિતિ અને બીજગણિત ટોપોલોજી. સામાન્ય શબ્દોમાં, તે જણાવે છે કે એક જટિલ પ્રક્ષેપણ બીજગણિત વિવિધતા માટે, અમુક ચક્રો જે ડી રેહમ કોહોમોલોજીમાં દેખાય છે તેની સાથે પત્રવ્યવહાર હોય છે. બીજગણિત વર્ગો પેટા જાતોની. આ બીજગણિતીય ચક્રો બીજગણિતીય સબમેનિફોલ્ડ્સના તર્કસંગત રેખીય સંયોજનો હશે.
આ અનુમાન માટે સૌથી મોટો પડકાર એ છે કે તે એક એવા ક્ષેત્રમાં છે જેમાં બંને શાખાઓ સામેલ છે, અને તેના નિરાકરણ માટે જરૂરી સાધનો ફક્ત તેના માટે જ ન હોઈ શકે. બીજગણિત ક્ષેત્ર o વિભેદક, પરંતુ તેઓને વધુ ટ્રાન્સવર્સલ અને જટિલ તકનીકોની જરૂર છે.
રિમેન પૂર્વધારણા
જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી દ્વારા 1859 માં પોઝ આપ્યો હતો બર્નહાર્ડ રીમેન, આ પૂર્વધારણા સૌથી જૂની અને સૌથી ભેદી ગાણિતિક સમસ્યાઓમાંની એક છે. આ રિમેન પૂર્વધારણા ના વિતરણનો ઉલ્લેખ કરે છે અવિભાજ્ય સંખ્યા અને જણાવે છે કે રીમેન ઝેટા ફંક્શનના તમામ બિન-તુચ્છ શૂન્ય તેમના વાસ્તવિક ભાગ તરીકે મૂલ્ય 1/2 ધરાવે છે.
રીમેન ઝેટા ફંક્શનનો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સાથે ખૂબ જ નજીકનો સંબંધ છે, અને જો આ પૂર્વધારણા સાબિત થાય, તો તેની ઊંડી સમજણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું વિતરણ. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માને છે કે પૂર્વધારણા સાચી છે, અને ટ્રિલિયન શૂન્યની ગણતરી કરવામાં આવી છે જે અનુમાનને અનુરૂપ છે, પરંતુ હજુ સુધી સંપૂર્ણ સાબિતી પ્રાપ્ત થઈ નથી.
યાંગ-મિલ્સનું અસ્તિત્વ અને સામૂહિક કૂદકો
La યાંગ-મિલ્સ થિયરી તે પાર્ટિકલ ફિઝિક્સ અને ક્વોન્ટમ ફિલ્ડ થિયરીનો નિર્ણાયક ભાગ છે. તે મૂળ રૂપે મોડેલ માટે રચાયેલ હતું ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર અને પછીથી ક્વોન્ટમ ક્રોમોડાયનેમિક્સ પર લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું, જે અણુ ન્યુક્લિયસમાં ક્વાર્ક અને ગ્લુઓન વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓનું વર્ણન કરે છે. ગાણિતિક સમસ્યા યાંગ-મિલ્સના સમીકરણોના અસ્તિત્વ અને કઠોર માન્યતાને દર્શાવવામાં અને સમીકરણ કેવી રીતે ઉત્પન્ન થાય છે તે સમજવામાં રહેલી છે. સામૂહિક અંતર.
સામૂહિક તફાવતની ઘટના એ સંદર્ભ આપે છે કે શા માટે ગ્લુઓન્સ જેવા દળવિહીન કણો તેમના શાસ્ત્રીય સ્વરૂપમાં ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતમાં મર્યાદિત સમૂહ પ્રાપ્ત કરે છે. જોકે સુપરકોમ્પ્યુટર પર અનુકરણો અત્યાર સુધી કરવામાં આવ્યા છે જે અનુમાનને સમર્થન આપે છે, એક સખત ગાણિતિક સાબિતી પ્રપંચી રહે છે.
નેવીઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો
આ નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણો સમીકરણોનો સમૂહ છે જેનું વર્ણન કરે છે પ્રવાહી ચળવળ જેમ કે પ્રવાહી અને વાયુઓ. 19મી સદીમાં ઘડવામાં આવેલા, આ સમીકરણો એરપ્લેનને અસર કરતા હવાના પ્રવાહથી લઈને હવામાનની પેટર્ન અને સમુદ્રી પ્રવાહો સુધી પ્રવાહી ગતિશીલતાને સમજવા માટે મૂળભૂત છે. જો કે, ધ આ સમીકરણોની જટિલતા ગણિતશાસ્ત્રીઓને ચોક્કસ વર્તણૂકોને સંપૂર્ણ રીતે સમજવાની મંજૂરી આપી નથી, જેમ કે અશાંતિનું નિર્માણ અથવા લેમિનર પ્રવાહમાંથી તોફાની પ્રવાહમાં સંક્રમણ.
ગાણિતિક પડકારમાં અમુક પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાં, નેવિઅર-સ્ટોક્સ સમીકરણોનો સરળ ઉકેલ (એટલે કે, એકલતા વિના) સમય જતાં જાળવી શકાય છે કે કેમ તે દર્શાવવાનો સમાવેશ થાય છે, અથવા જો તેનાથી વિપરીત, એકલતા ઊભી થાય છે જે તેની સાતત્યતાને અસર કરે છે.
બિર્ચ અને સ્વિન્નરટન-ડાયર અનુમાન
આ અનુમાન, અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા પ્રસ્તાવિત બ્રાયન બિર્ચ y પીટર સ્વિનર્ટન-ડાયર 1960 ના દાયકામાં, તે તર્કસંગત ઉકેલો સાથે વહેવાર કરે છે લંબગોળ વણાંકો. લંબગોળ વણાંકો એ બીજગણિત વસ્તુઓ છે જે, તેમના સરળ સંસ્કરણમાં, પ્લેનમાં રેખાઓ તરીકે વિઝ્યુઅલાઈઝ કરી શકાય છે, અને સંખ્યા સિદ્ધાંત આ વળાંકો સાથે અંકગણિત ગુણધર્મોની શ્રેણીને સાંકળે છે.
અનુમાન સૂચવે છે કે લંબગોળ વળાંક તેના ચોક્કસ ગુણધર્મોના આધારે, તર્કસંગત ઉકેલોની મર્યાદિત અથવા અનંત સંખ્યા ધરાવે છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની એક રીત છે. એલ કાર્ય. આ સમસ્યાનું નિરાકરણ ક્રિપ્ટોગ્રાફી જેવા ક્ષેત્રોમાં મુખ્ય પ્રગતિને સામેલ કરશે, કારણ કે ઘણી આધુનિક એન્ક્રિપ્શન સિસ્ટમ્સમાં લંબગોળ વળાંકો મૂળભૂત છે.
આમાંની કોઈપણ સમસ્યાનું નિરાકરણ એ અભૂતપૂર્વ સિદ્ધિ હશે અને ગણિતમાં પરિવર્તન લાવશે, તેમજ સમૃદ્ધ નાણાકીય પુરસ્કારો અને શાશ્વત શૈક્ષણિક યોગ્યતા પ્રદાન કરશે.